Laplacetransformasjon er elektroingeniørens supertriks som lar oss løse snille polynomer i stedet for differensiallikninger. Som elektroingeniør lærer vi laplacetransformasjon tidlig i studieløpet for å slippe å bli gale.
s-planet i kretsteknikk
Laplace egner seg spesielt godt til å regne på kretser med mange passive komponenter (spoler, kondensatorer og motstander). En krets med N energilagrende passive elementer (spole eller kondensator) vil kunne beskrives av en differensiallikning av N-te orden eller et s-polynom av orden N-1. Vi kan flytte kretsanalysene våre fra tidsdomenet til laplacedomenet og tilbake igjen uten tap av informasjon. Det enkleste er derimot å sette likningene opp direkte ved å bruke formelene for impedans som står i tabellen under, da kan du bruke alle teknikkene fra første semester slik som maskestrøm og nodespenning.
| Komponent | Tidsdomenet ([math]\displaystyle{ t }[/math]) | Frekvensdomenet ([math]\displaystyle{ j\omega }[/math]) | Laplacedomenet ([math]\displaystyle{ s }[/math]) |
|---|---|---|---|
| Motstand | [math]\displaystyle{ v=Ri }[/math] | [math]\displaystyle{ Z = R }[/math] | [math]\displaystyle{ Z = R }[/math] |
| Kondensator | [math]\displaystyle{ i_C=C\frac{dv_C}{dt} }[/math] | [math]\displaystyle{ Z_C = \frac{1}{j\omega C} }[/math] | [math]\displaystyle{ Z_C = \frac{1}{sC} }[/math] |
| Spole | [math]\displaystyle{ v_L=L\frac{di_L}{dt} }[/math] | [math]\displaystyle{ Z_L = j\omega L }[/math] | [math]\displaystyle{ Z_L = sL }[/math] |
Hva faen betyr [math]\displaystyle{ s = j\omega }[/math]
Du stiller feil spørsmål, tenk heller hva s kan gjøre for deg:
- Ganger du med s, så deriverer du.
- Deler du på s, så integrerer du.
| Tidsdomenet | Laplacedomenet | Kommentar |
|---|---|---|
| [math]\displaystyle{ f(t) }[/math] | [math]\displaystyle{ F(s) }[/math] | |
| [math]\displaystyle{ f'(t) }[/math] | [math]\displaystyle{ sF(s) - f(0) }[/math] | førstederivert, startbetingelse f(0) er ofte 0 |
| [math]\displaystyle{ f''(t) }[/math] | [math]\displaystyle{ s^2F(s) - sf(0) - f'(0) }[/math] | andrederivert, startbetingelsene f(0) og f'(0) er ofte 0 |
| [math]\displaystyle{ 1 }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{1}{s} }[/math] | enhetssprangrespons, samme som u(t-0)=u(t) |
| [math]\displaystyle{ e^{at} }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{1}{s-a} }[/math] | |
| [math]\displaystyle{ cos(bt) }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{s}{s^2 + b^2} }[/math] | |
| [math]\displaystyle{ sin(bt) }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{b}{s^2 + b^2} }[/math] | |
| [math]\displaystyle{ f(t-a)u(t-a) }[/math] | [math]\displaystyle{ F(s)e^{-as} }[/math] | f(t) skrus på etter a sekunder (tidsforsinkelse) |