Laplacetransformasjon

Laplacetransformasjon er elektroingeniørens supertriks som lar oss løse snille polynomer i stedet for differensiallikninger. Som elektroingeniør lærer vi laplacetransformasjon tidlig i studieløpet for å slippe å bli gale.

s-planet i kretsteknikk

Laplace egner seg spesielt godt til å regne på kretser med mange passive komponenter (spoler, kondensatorer og motstander). En krets med N energilagrende passive elementer (spole eller kondensator) vil kunne beskrives av en differensiallikning av N-te orden eller et s-polynom av orden N-1. Vi kan flytte kretsanalysene våre fra tidsdomenet til laplacedomenet og tilbake igjen uten tap av informasjon. Det enkleste er derimot å sette likningene direkte opp i s- eller [math]\displaystyle{ j\omega }[/math]-planet ved å bruke formelene for impedans som står i tabellen under, da kan du bruke alle teknikkene fra første semester slik som maskestrøm og nodespenning.

Strøm-/spenningsforhold for de tre passive komponentene

Komponent	Tidsdomenet ([math]\displaystyle{ t }[/math])	Frekvensdomenet ([math]\displaystyle{ j\omega }[/math])	Laplacedomenet ([math]\displaystyle{ s }[/math])
Motstand	[math]\displaystyle{ v=Ri }[/math]	[math]\displaystyle{ Z = R }[/math]	[math]\displaystyle{ Z = R }[/math]
Kondensator	[math]\displaystyle{ i_C=C\frac{dv_C}{dt} }[/math]	[math]\displaystyle{ Z_C = \frac{1}{j\omega C} }[/math]	[math]\displaystyle{ Z_C = \frac{1}{sC} }[/math]
Spole	[math]\displaystyle{ v_L=L\frac{di_L}{dt} }[/math]	[math]\displaystyle{ Z_L = j\omega L }[/math]	[math]\displaystyle{ Z_L = sL }[/math]

Merk her at formelene for spole og kondensator i tidsdomenet ikke er lineære forhold men differensialer, vi har [math]\displaystyle{ i = Cv' }[/math] og [math]\displaystyle{ v = Li' }[/math]. I både frekvensdomenet ([math]\displaystyle{ j\omega }[/math]) og laplacedomenet ([math]\displaystyle{ s }[/math]) gjenvinner vi denne lineære egenskapen og kan igjen bruke Ohm's lov.

Hva faen betyr [math]\displaystyle{ s = j\omega }[/math]

Du stiller feil spørsmål, tenk heller hva s kan gjøre for deg:

• Ganger du med s, så deriverer du.
• Deler du på s, så integrerer du.

Vanlige laplacetransformasjoner.

Tidsdomenet	Laplacedomenet	Kommentar
[math]\displaystyle{ f(t) }[/math]	[math]\displaystyle{ F(s) }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(t) }[/math]	[math]\displaystyle{ sF(s) - f(0) }[/math]	førstederivert, startbetingelse f(0) er ofte 0
[math]\displaystyle{ f''(t) }[/math]	[math]\displaystyle{ s^2F(s) - sf(0) - f'(0) }[/math]	andrederivert, startbetingelsene f(0) og f'(0) er ofte 0
[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{s} }[/math]	enhetssprangrespons, samme som u(t-0)=u(t)
[math]\displaystyle{ e^{at} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{s-a} }[/math]
[math]\displaystyle{ cos(bt) }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{s}{s^2 + b^2} }[/math]
[math]\displaystyle{ sin(bt) }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{b}{s^2 + b^2} }[/math]
[math]\displaystyle{ f(t-a)u(t-a) }[/math]	[math]\displaystyle{ F(s)e^{-as} }[/math]	f(t) skrus på etter a sekunder (tidsforsinkelse)