Laplacetransformasjon

2023-10-12T12:14:09Z

129.241.236.28:

Laplacetransformasjon er elektroingeniørens supertriks som lar oss løse snille polynomer i stedet for differensiallikninger.
Som elektroingeniør lærer vi laplacetransformasjon tidlig i studieløpet for å slippe å bli gale.

== s-planet i kretsteknikk ==
Laplace egner seg spesielt godt til å regne på kretser med mange passive komponenter (spoler, kondensatorer og motstander).
En krets med N energilagrende passive elementer (spole eller kondensator) vil kunne beskrives av en differensiallikning av N-te orden eller et s-polynom av orden N-1.
Vi kan flytte kretsanalysene våre fra ''tidsdomenet'' til ''laplacedomenet'' og tilbake igjen uten tap av informasjon.
Det enkleste er derimot å sette likningene direkte opp i s- eller <math>j\omega</math>-planet ved å bruke formelene for [[Impedans (elektroteknikk)|impedans]] som står i tabellen under, da kan du bruke alle teknikkene fra første semester slik som [[Maskestrøm (elektroteknikk)|maskestrøm]] og [[Nodespenning (elektroteknikk)|nodespenning]].

{| class="wikitable"
|+ Strøm-/spenningsforhold for de tre passive komponentene
|-
! Komponent !! Tidsdomenet (<math>t</math>) !! Frekvensdomenet (<math>j\omega</math>) !! Laplacedomenet (<math>s</math>)
|-
| Motstand || <math>v=Ri</math> || <math>Z = R</math> || <math>Z = R</math>
|-
| Kondensator || <math>i_C=C\frac{dv_C}{dt}</math> || <math>Z_C = \frac{1}{j\omega C}</math> || <math>Z_C = \frac{1}{sC}</math>
|-
| Spole || <math>v_L=L\frac{di_L}{dt}</math> || <math>Z_L = j\omega L</math> || <math>Z_L = sL</math>
|-
|}
Merk her at formelene for spole og kondensator i tidsdomenet ikke er lineære forhold men differensialer, vi har <math>i = Cv'</math> og <math>v = Li'</math>.
I både frekvensdomenet (<math> j\omega</math>) og laplacedomenet (<math>s</math>) gjenvinner vi denne lineære egenskapen og kan igjen bruke Ohm's lov.

== Hva faen betyr <math> s = j\omega </math> ==
Du stiller feil spørsmål, tenk heller hva s kan gjøre for deg:
* Ganger du med s, så deriverer du.
* Deler du på s, så integrerer du.

{| class="wikitable"
|+ Vanlige laplacetransformasjoner.
|-
! Tidsdomenet !! Laplacedomenet !! Kommentar
|-
| <math> f(t) </math> || <math> F(s) </math>
|-
| <math> f'(t) </math> || <math> sF(s) - f(0)</math> || førstederivert, startbetingelse f(0) er ofte 0
|-
| <math> f''(t) </math> || <math> s^2F(s) - sf(0) - f'(0)</math> || andrederivert, startbetingelsene f(0) og f'(0) er ofte 0
|-
| <math> 1 </math> || <math> \frac{1}{s} </math> || enhetssprangrespons, samme som u(t-0)=u(t)
|-
| <math> e^{at} </math> || <math> \frac{1}{s-a} </math>
|-
| <math> cos(bt) </math> || <math> \frac{s}{s^2 + b^2} </math>
|-
| <math> sin(bt) </math> || <math> \frac{b}{s^2 + b^2} </math>
|-
| <math> f(t-a)u(t-a) </math> || <math> F(s)e^{-as} </math> || f(t) ''skrus på'' etter ''a'' sekunder (tidsforsinkelse)
|-
|}

[[Kategori:Elektroteknikk]]

MotstandenWiki - Brukerbidrag [nb]

Laplacetransformasjon